Proof of Dejean’s conjecture for alphabets

Axel Thue proved that overlapping factors could be avoided in arbitrarily long words on a two-letter alphabet while, on the same alphabet, square factors always occur in words longer than 3. Françoise Dejean stated an analogous result for three-letter alphabets : every long enough word has a factor which is a fractional power with an exponent at least 7/4 and there exist arbitrary long words in which no factor is a fractional power with an exponent strictly greater than 7/4. The number 7/4 is called the repetition threshold of the three-letter alphabets. Thereafter, she proposed the following conjecture : the repetition threshold of the k-letter alphabets is equal to k/(k − 1) except in the particular cases k = 3, where this threshold is 7/4, and k = 4, where it is 7/5. For k = 4, this conjecture was proved by Jean Jacques Pansiot. In this paper, we give a computer-aided proof of Dejean’s conjecture for several other values : 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Résumé. Axel Thue a montré que l’on peut éviter les chevauchements dans des mots arbitrairement grands sur un alphabet à deux lettres alors que l’on ne peut éviter les carrés. On peut ainsi dire que l’exposant 2 est le seuil de répétition des alphabets à deux lettres. Françoise Dejean a démontré que le seuil de répétition des alphabets à trois lettres est 7/4 ; elle a alors proposé la conjecture suivante : le seuil sk de répétition des alphabets à k lettres est égal à k/(k − 1) sauf pour les cas particuliers 3 et 4 (s3 = 7/4, s4 = 7/5). Jean Jacques Pansiot a établi le résultat pour k = 4. Nous donnons ici une démonstration assistée par ordinateur de cette conjecture pour k = 5, 6, 7, 8, 9, 10 et 11.